“...ve sonsuza
kadar mutlu yaşarlar.”
Eskilerden beri masallarda söylenegelen bu cümle aslında
neyi anlatır? Sayılamayacak kadar uzun yıllar mutlu yaşamak... İnsan ömrünü
düşünürsek bu “sonsuz” epey büyük olsa gerek. Minimal dimağlarımıza daha
küçüklükten yerleşen bu sonsuzluk kavramı, aslında o zamanlardan itibaren bizim
için bir çelişkidir. “Ben annemi sonsuz kadar çok seviyorum. Hayır sonsuzdan da
çok. Yo yo sonsuzun da sonsuzu, hayır en sonsuz... ” Bu kavram ileri matematik
konularının en önemli terimlerinden biri olacak kadar büyülü olduğuna göre,
yakından tanımak daha faydalı olacaktır diye düşünüp size sonsuz bir heyecanla
“sonsuz”u anlatmak istedim.
Şimdi bir doğruyu düşünelim. Üzerinde sonsuz tane nokta
vardır. Bu doğrunun uzunluğunu iki katına çıkarırsak sahip olduğu nokta sayısı
yine sonsuz olacaktır. Peki, bu uzun olan doğruya yapılan bir haksızlık değil
midir? Bir sayıyı sıfıra böldüğümüzde sonuç sonsuz olur. Peki, bu sonsuz
aslında bir sayı mıdır? Sonsuzu sonsuza bölmek limit sorularında neden
belirsizlik olarak karşımıza çıkar?
Sonsuzun kelime anlamı hiç bitmeyen, ebedi olarak
bilinir. Ölçülemeyecek kadar çok ya da büyük, sınırı, ucu bucağı olmayan gibi tanımlamaları
da vardır. Media Player efektleri ya da kara delik gibi gizemli bir şey...
Matematikte ise çoğu zaman illet olunan ama bir o kadar da olmazsa olmaz bir
terimdir. Sonsuz kavramını, lise yıllarımızın başlarındayken durmadan sayarak
elde edebileceğimiz en son sayı olarak düşünürüz. Gördüğümüz derslerle birlikte
bunun, yeni sayılar oluşturmanın sonunun gelmediğini ifade eden, mecazi bir
kelime olduğunu da düşünmeye başlarız. Bu konudaki ilk çalışma, Eski Yunan
döneminde Öklid’in “Elemanlar” eserinde vurgulanmış. Öklid’in tespitinde asal
sayılar, herhangi bir asal sayı niceliğinden çok daha fazladır denmiş ve asal
sayıların sonsuzluğu vurgulanmıştır. Kalkülüsü icat eden Newton ve Leibniz
küçük sonsuzu da işin içine katarken sonsuzluk teriminin derin anlamını da
kavratmışlardır. Sonsuzluk, aslında negatif ya da pozitif olması fark etmeden,
saymanın bir süreç olduğunu anlatır. Yani “saymayı sürdürme”nin bir diğer
ifadesidir.
Tavşanla kaplumbağa hikayesini bilirsiniz. Olayın
matematiksel yorumuna bakalım: Kaplumbağa, tavşanın yarım kilometre önünde
olacak şekilde bir kilometrelik bir yarışa başlar ve tavşanın hızı da
kaplumbağanın iki katıdır. Tavşan yarım kilometre ilerlediğinde kaplumbağa
dörtte bir, tavşan dörtte üç ilerlediğinde
kaplumbağa sekizde bir kadar ilerlemiştir. Tavşan 7/8 kilometreye ulaştığında
kaplumbağa daha da ilerlemiştir. Tavşanın kaplumbağayı yakalaması için sonsuz
sayıda koşu yapması gerektiği sonucuna varılır. Duruma bakılırsa tavşan
kaplumbağaya hiç yetişemez. Fakat sonuçta bitecek olan sonlu bir yol için
sonsuz koşu yapmak çok saçma gözüküyor. Tavşanın kaplumbağayı yakalamak için
katettiği yol ½ + ¼ + 1/8 + ... gibi bir toplam olacaktır ve bu dizinin toplamı
hesaplayabileceğimiz üzere 1‘dir. Bu, zaman da uzaklıkla küçüldüğü için,
tavşanın sonsuza kadar koşacağı anlamını taşımaz. Tavşan kaplumbağayı tam bir
kilometre ötede yakalayacaktır.
19. yüzyılda Alman matematikçi Georg Cantor da “sonsuz
küme” kavramına getirdiği tanımlamayla sonsuzu incelemiştir. Galile, iki tane
sonsuz varsa birinin diğerinden daha büyük bir sonsuz olamayacağını, bunların
mukayese edilemeyeceğini söylemişti. Fakat Cantor bazı sonsuzların diğer
sonsuzlardan daha büyük olduğunu keşfetti. Bunu da kümeler kuramına dayanarak
açıkladı. Tamsayılar kümesini {…,-2, -1, 0, 1, 2,… } ve çift sayılar kümesini
{2, 4, 6, 8...} kümesini ele alalım. Elemanları, tamsayılar kümesiyle
eşleştirilebilen her kümenin eleman sayısı da aynıdır. Bu durumda çift sayılar
kümesi, tamsayılar kümesinin her elemanını içermemesine rağmen her iki kümedeki
eleman sayısını da aynı kabul etmiş olduk. Cantor, bu çelişkiden sonra bir
başka kümenin de tamsayılar kümesinin eleman sayısından daha büyük olduğunu
keşfetti. Bu küme reel sayıların kümesiydi. O dönemin bazı din bilginleri matematikteki
sonsuzla uğraşmanın Tanrı’ya karşı çıkmak olduğunu söylediler. Cantor da,
dindeki sonsuzluk kavramıyla dünyadaki sonsuzluk kavramını ikiye ayırdı.
Dünyadaki sonsuzluk kavramını da soyut ve somut olmak üzere ikiye ayırdı.
Matematikteki sonsuz soyut, yıldızların
ve maddenin küçük parçacıklarının sonsuz olması da somut olarak ayrılmış oldu.
Cantor, o dönemde fikirlerinin anlaşılamamasından dolayı depresyon nöbetleri
geçirse de en büyük sonsuzun hesabının olamayacağını “sonsuz kardinaller (sonsuz
sayma sayısı )” in sonunun olmadığını açıklamış oldu.
Evrenle
sonsuz arasındaki ilişki nedir?
Gerçek hayata dair bir sonsuzluk örneği vermek, soyut matematik
kadar kolay değildir. Evreni göz önüne alalım. Bütün atomik alemleri sembolize eden evren,
somut bir şekilde bize sonsuzluğu düşündürebilecek bir kavram. Wilson ve
Penzias tarafından radyo sinyalleri sayesinde, milyarlarca yıl önceki
patlamanın elektronik yankısının kanıtlanmasından sonra evrenin 1915’li
yıllarda dendiği gibi statik olmadığı anlaşıldı. Hubble’ın Big Bang’i haklı
çıkaran araştırmasına göre, galaksimiz dışındaki diğer galaksilerin bizden
uzaklıklarıyla orantılı olarak uzaklaştıklarını biliyoruz. Bir zamanlar,
küçücük yoğun ve sıcak bir yapı olan içinde bulunduğumuz evren, giderek
genişlemekteyse bunun şöyle bir anlamı da olmalı: Evrenin giderek
genişleyebilmesi için onu kapsayan,
kendinden daha da büyük bir varlığın içinde olması gerekir. Hal böyle
olunca da, bizim sonsuz sandığımız bu kainattan daha büyük başka bir kainat da
olmalı. Peki, evrenin sonsuz olmaması onun sonsuz ömrünün olmasını engeller mi?
Sonsuz dediğimiz şeyin de aslında bir eklersek daha bir sonsuz(!) olduğunu
düşünürsek evrenin ömrü ile ilgili bir yorum yapmak da garip gibi gözüküyor.
Peki, maddeyi düşünelim. Madde, sonsuz küçük
parçacıklardan oluşuyorsa, parçacıklar da içinde daha küçük parçacığın
bulunduğu boşluklardan oluşuyorsa madde diye bir şeyin olmadığı sonucuna doğru
gidiyoruz demektir. Bu yüzden de, sonsuzu somut olarak yorumlamak bir hayli
güç.
Şunu söyleyebiliriz ki; “sonsuz çok” elbette çok büyük
fakat bazı sonsuzlar da diğerlerinden daha büyüktür. Sonsuza kadar
yaşayamacağınızı anlayabildiğiniz gibi sonsuz olmadan yaşayamayacağınızı da
sonsuz saygılarımla belirtir, sonsuzluğa uğurlanana kadar sonsuz mutluluklar
dilerim sevgili okurlar...
Kaynaklar:
