Öğrencilik hayatımız boyunca sürekli sabit sayılarla ilgilenmişizdir. Pi sayısı, Rydberg sabiti, Coloumb sabiti, Planck sabiti, e sayısı, Avogadro sayısı gibi birçok sabitin nasıl bulunduğunu merak etmişizdir. Bu sabitlerin içinde öyle fantastik bir sabit vardır ki, o da phi (fi)sayısıdır. Bu yazımda sizlere mükemmellik ve güzelliğin ölçütü olan phi sayısından bahsetmek istedim. Okurken çok şaşıracağınızın şimdiden garantisini verebilirim.
Phi nedir? .jpeg)
Phi 1.618 sayısıdır. Phi kelimesi matematiksel bir ifadedir. Phi sayısına birçok kaynakta “altın oran” denilmektedir. Euclid (Öklid) (M.Ö.365-300) “Elementler” adlı tezinde böyle bir sayının varlığından bahsetmiştir. Aynı zamanda bu oran Mısır piramitleri ve eski Yunan mimarisinde de kullanılmıştır. Bu sebeple bu sayının ne zaman keşfedildiğine dair kesin bir bilgi mevcut değildir.
Altın oran nasıl elde edilir?
Orta Çağ'ın en yetenekli matematikçisi olarak kabul edilen İtalyan asıllı Leonardo Fibonacci yazdığı matematik kitaplarının birinde bir problemden bahsetmiştir. Bu probleme göre bir çiftlikte bir çift yavru tavşan yaşar. Bu tavşanlar ilk iki ay yavru yapamaz. Ancak üçüncü aydan itibaren her çift, bir çift yavru tavşan dünyaya getirmektedir. Bu olay devam ettikçe toplam tavşan sayısı Fibonacci dizisini verir.
İlk iki ay tavşan oluşmaz. Sadece bir çift tavşan bulunur.
3. ay = 2çift
4. ay = 3çift
5. ay = 5çift
6. ay = 8çift
olur.
.jpeg)
Aylarda meydana gelen toplam tavşan çiftleri sayısı 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … şeklinde devam eden bir dizi meydana getirir. Bu dizide ilk iki sayı dışında her sayı kendinden önce gelen iki sayının toplamından oluşmuştur. Altın oran ise bu dizinin sonsuzdaki bir sayısının bir önceki sayısına olan oranıdır. Fibonacci dizisinin ilk elemanlarının oranlarına bakalım.
88/59'dan sonra bütün ardışık sayıların oranları 1.618’i vermektedir.
Altın oranı şu şekilde de elde etmek mümkündür: Bir doğru parçası ele alalım. Onu öyle bir K noktasından böleceğiz ki |AB| doğru parçasının bölünen uzun parçaya oranı, uzun parçanın kısa parçaya oranına eşit olsun.
| 3 /2=1.5 |
5/3=1.666… |
8/5=1.6 |
13/8=1.625 |
21/13=1.6153…
|
34/21=1.61904… |
55/34=1.61764… |
89/55=1.61818 |
| 233/144=1.618 |
377/233=1.618… |
2584/1597=1.618 |
|
.jpeg) |
|
|KB|’yi 1 birim alalım ve |AK| x birim olsun.
(x+1)/x = x/1 = altın oran
x+1 = x^2
|
Bu durumda altın oran, kendisine 1 eklendiğinde karesine eşit olan sayıdır diyebiliriz. Denklemin çözüm kümesi x1 = 1.618033 ve x2 = -0.618033… olur. Ancak bir orandan bahsettiğimiz için pozitif değeri kullanırız.
Altın oran nerelerde
karşımıza çıkar?
İnsan vücudunda altın orana örnek vermek istersek; insanın boyunun tamamının göbek ile ayak arasındaki mesafeye oranı, dirsek arasından parmak ucuna kadar olan kısmın dirsek arasından el bileğine kadar olan kısma oranı, omuz hizasından başucuna kadar olan mesafenin kafa boyuna oranı altın oranı vermektedir. Aynı oran yüzümüzde ve iç organlarımızda da mevcuttur.
DNA molekülünde de altın orana rastlamak mümkündür. DNA düşey doğrultuda iç içe açılmış iki sarmaldan oluşur. Bu sarmallardaki her bir yuvarlağın uzunluğu 34 angstrom, genişliği ise 21 angstromdur. (santimetrenin 100 milyonda biri) 21 ve 34 art arda gelen iki Fibonacci sayısıdır.
Arı kovanlarında dişi arı sayısının erkek arı sayısına oranı altın oranı verir.
Şemada görüldüğü gibi erkek arının ebeveyni sadece dişi arıdır ama dişi arınınki bir erkek ve bir dişi arıdır. Geçmiş kuşaklara doğru soyu oluşturan toplam ebeveyn sayısı b
ize Fibonacci dizisini verir.
Mısırlılar, Keops Piramidi’ni altın orana göre inşa etmiştir. Kullanılan her taşın alanı bir üstündeki taşın 1.618 katıdır. Yüksekliklerinde de aynı oran görülür.
Mimar Sinan birçok eserini bu oranla tasarlamıştır. Süleymaniye ve Selimiye camilerinde de bu oran vardır.
Leonardo da Vinci eserlerinde bu oranı kullanmıştır.
Sarmallarda Altın Oran
Kenarlarının oranı altın orana eşit olan bir dikdörtgen altın dikdörtgendir. Uzun kenarı 1.618 birim, kısa kenarı 1 olan bir dikdörtgen çizelim.
Bu dikdörtgenin kısa kenarını kenar kabul eden bir kareyi içine çizelim. Bu karenin iki köşesi arasına (A ve B noktası) bir çeyrek çember çizelim. Karenin dışında kalan dikdörtgen de (FCDE) altın dikdörtgendir. Aynı şekilde onun da içine bir kare çizip çeyrek çember çizelim. Bunu asıl dikdörtgen içinde oluşan tüm ufak dikdörtgenlerde gerçekleştirirsek sarmal bir yapı karşımıza çıkacaktır. Altın oranla meydana gelen bu sarmal yapı doğada ayçiçeği ve kozalak üzerindeki dizilimlerde bulunur. Ayçiçeğinin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının oranı bize altın oranı vermektedir.
Yukarıda çizdiğimiz altın oranlı sarmal yapı salyangozun kabuğunda da aynı orandadır. Yumuşakçaların kabuklarının büyümesi logaritmik spiral formda gerçekleşir. Mesela deniz kabuğu ve yumuşakçalar bu şekilde büyürler.
Evrende bu oranı barındıran birçok spiral galaksi olduğu tahmin edilmektedir. Güneş etrafındaki gezegenlerin eliptik yapısını keşfeden Johannas Kepler altın oranı şu şekilde belirtmiştir: ”Geometrinin iki büyük hazinesi vardır; biri Pythagoras’ın teoremi, diğeri bir doğrunun altın orana göre bölünmesidir.”
Kaynaklar:
